méthode de Newton (en cours)

Publié le par jö

Cette entrée fait suite à l'article sur la suite des rationnels. On y avait mis en évidence une architecture particulière des suites convergeant vers des irrationnels quadratiques (des racines carrés d'entiers) dans la mesure où les suites fournies reprenait les estimations successives de  la fraction continue desdits rationnels.

On va maintenant observer l'architecture de la suite quand on s'y prend autrement pour tendre vers √2.

La méthode de Newton fournit un moyen itératif de calculer le zéro d'une fonction qu'on va prendre ici égale à f(x)=x²-2 de manière à rester dans les rationnels :

x_{n+1}=x_n - f(x_n)/f'(x_n)

On prend arbitrairement x1=1 et on obtient

#(          1/1      )=2
#(          3/2      )=6
#(        17/12     )=90
#(      577/408    )=22938
#(665857/470832)=

où on peut déjà observer que la convergence est plus rapide (la convergence de la méthode de Newton est dite quadratique). Toutefois, à l'instar de l'exemple avec l'irrationnel non-quadratique, la structure des numéros successifs ne vérifie pas de régularité évidente comme en témoigne le tableau :
    x21   x272   x?
  +4   +84   +22848   +?
2   6   90   22938   ?

Publié dans mathblog

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