la suite des rationnels

Il existe une formule simple pour balayer successivement tous les rationnels positifs. Cela signifie que toutes les fractions (positives) irréductibles possèdent un numéro.

En attribuant le numéro 1 à 0 on obtient à l'aide de cette formule que, par exemple, la fraction 355/113 (une très bonne approximation de π) possède le numéro 67 107 848.

La suite obtenue a par ailleurs un certain nombre de propriétés intéressantes. Notons #(n/d) le numéro de la fraction (supposée irréductible) ayant n et d pour numérateur et dénominateur et considérons la suite habituelle des fractions qui tend vers le nombre d'or (n et d sont alors deux nombres de Fibonacci consécutifs). On observe que :

#(    1/1 ) = 2
#(    2/1 ) = 4
#(    3/2 ) = 6
#(    5/3 ) = 14
#(    8/5 ) = 22
#(  13/8 ) = 54
#(  21/13) = 86
#(  34/21) = 214
#(  55/34) = 342
#(  89/55) = 854
#(144/89) = 1336


Il est alors curieux de noter que

				x4				x4				x4				x4
	+2		+2		+8		+8		+32		+32		+128		+128		+512		+512
2		4		6		14		22		54		86		214		342		854		1336

Essayons avec une autre suite obtenue par évaluations successives d'une fraction continue et tendant vers un autre irrationnel : √2 (racine carrée de 2)
#(       1/1  )=2
#(       3/2  )=6
#(       7/5  )=26
#(     17/12 )=90
#(     41/29 )=410
#(     99/70 )=1434
#(   239/169)=6554
#(   577/408)=22938
#( 1393/985)=104858
#(3363/2378)=367002
#(8119/5741)=1677722

et cette fois

x5

x16/5

x5

x16/5

x5

x16/5

x5

x16/5

x5

+4

+20

+64

+320

+1024

+5120

+16384

+81920

+262144

+1310720

2

6

26

90

410

1434

6554

22938

104858

367002

1677722

Avec l'irrationnel non quadratique (dont le développement en fraction continue n'est pas périodique)  e ≈ 2.718281828459  :

#(      8/3 )=28
#(    11/4  )=60
#(    19/7  )=92
#(    87/32 )=1116
#(  106/39 )=2140
#(  193/71 )=6236
#(1264/465)=518236

le schéma est moins clair.