la suite des rationnels

Publié le par jö

Il existe une formule simple pour balayer successivement tous les rationnels positifs. Cela signifie que toutes les fractions (positives) irréductibles possèdent un numéro.

En attribuant le numéro 1 à 0 on obtient à l'aide de cette formule que, par exemple, la fraction 355/113 (une très bonne approximation de π) possède le numéro 67 107 848.

La suite obtenue a par ailleurs un certain nombre de propriétés intéressantes. Notons #(n/d) le numéro de la fraction (supposée irréductible) ayant n et d pour numérateur et dénominateur et considérons la suite habituelle des fractions qui tend vers le nombre d'or (n et d sont alors deux nombres de Fibonacci consécutifs). On observe que :

#(    1/1 ) = 2
#(    2/1 ) = 4
#(    3/2 ) = 6
#(    5/3 ) = 14
#(    8/5 ) = 22
#(  13/8 ) = 54
#(  21/13) = 86
#(  34/21) = 214
#(  55/34) = 342
#(  89/55) = 854
#(144/89) = 1336


Il est alors curieux de noter que
        x4       x4       x4       x4      
  +2   +2   +8   +8 +32   +32   +128   +128 +512   +512  
2   4   6   14 22   54   86   214 342   854   1336  

Essayons avec une autre suite obtenue par évaluations successives d'une fraction continue et tendant vers un autre irrationnel : √2 (racine carrée de 2)
#(       1/1  )=2
#(       3/2  )=6
#(       7/5  )=26
#(     17/12 )=90
#(     41/29 )=410
#(     99/70 )=1434
#(   239/169)=6554
#(   577/408)=22938
#( 1393/985)=104858
#(3363/2378)=367002
#(8119/5741)=1677722

et cette fois
    x5   x16/5   x5   x16/5   x5   x16/5   x5   x16/5   x5  
  +4   +20   +64   +320 +1024   +5120   +16384   +81920 +262144   +1310720  
2   6   26   90 410   1434   6554   22938 104858   367002   1677722  

Avec l'irrationnel non quadratique (dont le développement en fraction continue n'est pas périodique)  e ≈ 2.718281828459  :

#(      8/3 )=28
#(    11/4  )=60
#(    19/7  )=92
#(    87/32 )=1116
#(  106/39 )=2140
#(  193/71 )=6236
#(1264/465)=518236

le schéma est moins clair.

Publié dans mathblog

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jö 20/07/2007 19:11

Concernant la (non-)unicité de la fonction en question, je ne peux pas encore répondre : c'est la seule que je connaisse mais a  priori il n'y a effectivement pas de raison évidente de douter de son caractère arbitraire. Tu as raison d'envisager d'inverser les deux termes 0 et 1 (car ils sont surement les plus symboliques des rationnels et leur traitement n'est pas à être décrit à la légère) mais une première approche de la recherche de la récipropque de la fonction (appelons-là g comme dans wikipedia) mène à une impasse car g utilise la fonction E ('partie entière') qui n'est pas bijective et la bijectivité est le caractère nécessaire de la réciprocité.Quelle pourrait être alors l'allure d'une telle fonction destinée à avoir 1 comme point de départ, suivi de 0. En misant sur linversion (g est une inversion et intuitivement je crois que c'est un aspect incontournable), la fonction recherchée (appelons-là h) ne peut pas être une pure inversion car elle retourne 0 au premier coup. Sa forme, au plus simple, s'utilise alors en écrivant x_{n+1}=h(x_n)=1/(a+bE(x_n)-x_n)+c   (1)avec les contraintes, en n=1, x2=0, x1=1 soit c=1/(1-a-b). Avec les constantes a=1 et b=2 (comme pour g), on obtient :x1=1x2=0x3=1/2x4=3/2x5=1/6x6=7/10x7=17/6x8=-1/26et le signe - ne nous arrange pas. Comme il vient de la constante c, on va s'arranger pour que c>0 : on est alors obligé de choisir a et b de telle sorte que l'un au moins soit de signe négatif et on n'est toujours pas assuré de rester dans les rationnels positifs. Peut-être que la forme (1) n'est pas la bonne mais alors si la fonction cherchée utilise l'inversion et la fonction E (ce qui je le répète me semble incontournable) et n'est pas de la forme (1), elle doit être bien plus complquée ce qui n'est pas souhaitable.Pas d'autres idées aujourd'hui.

Martin Seller 20/07/2007 12:36

Que dire ? Je ne suis pas assez matheux pour te répondre avec précision, mais peut-être pourrais-je te faire réfléchir à ton problème: S'il existe une fonction qui permet d'assigner un entier à toute fraction irréductible, elle n'est pas l'unique fonction qui le permette, car on peut tout à fait choisir d'intervertir les deux premières images de la fonction par exemple (avec une fonction à cas 1->1/1; 2->0; et le reste comme avant ).
Au delà de ces fonctions à cas, on doit se demander aussi, s'il en existe pas d'autres plus linéaires (je veux dire, pas à cas, mais je n'ai pas les mots) qui font le même boulot d'encryptage, puisqu'il s'agit de cela. Et dans ce cas là ne pourrait-on pas forcer la suite des entiers représentant e à respecter un ordre similaire à celui trouvé pour le nombre d'or et racine de 2 ?
Mais je suppose que la distinction entre nombre algébrique et transcendant opère ici: Mais Je crois aussi savoir que e comme pi sont calculables. Du coup je ne sais pas si le fait qu'il soient calculables implique qu'ils puissent répondre à un ordre dans tes schémas ou si le fait qu'ils soient transcendants implique que justement non.
Et si l'on réussissait à forcer l'ordre (j'entend un règle) par une bijection ad-hoc, qu'adeviendrait-il des nombres algébriques ? perdraient-ils leur règle (dans ton schéma?), seulement certains ? tous ? etc.. N'hésite pas à me faire part de tes découvertes.
a+