diagrammes de Ferrers

Publié le par jö

Bien que ma culture mathématique concerne l'analyse complexe, je rédige souvent des entrées de ce blog ayant trait à l'analyse combinatoire. Pour cetains problèmes, et c'est là toute la beauté des maths, des résultats sont obtenus en mettant en relation les résultats théoriques de différentes branches mathématiques. Après avoir présenté le cadre analytique complexe d'un de ces problèmes, je vais présenter un résultat combinatoire permettant une meilleure compréhension dudit problème.

Sans rentrer dans les détails au niveau complexe (ce sera l'objet d'un autre article), le problème concerne l'évaluation des pôles et des zéros d'une fonction rationnelle réelle grâce à une version généraliséee du théorème de Rouché. A un moment de la résolution, on doit évaluer des polynômes multivariés (on a différentes puissances de plusieurs variables x1, x2, ..., xm) homogènes (xmn est de même degré que xnm) tels que P1(x1)=3x1 ou P2(x1,x2)=5x12+4x2. Pour les stocker en machine, il est utile de savoir combien de leurs coefficients on peut s'attendre à trouver. Par exemple, si un polynôme est nommé P2(x1,x2), il est aisé de voir que tous les polynômes possibles vont s'écrire ax12+bx2 où a et b sont des constantes quelconques donc un tableau à 2 cases suffit : une case pour a et une case pour b. De même, mais un peu moins évident, P5(x1,x2,x3,x4) s'écrit en général ax15+bx13x2+cx12x3+dx1x4+ex1x22+fx2x3 donc il faudra un tableau de six cases.

Notons P(j,s) le polynôme Pj(x1,x2,...xs) et d(j,s) le nombre de ses coefficients. Il se trouve que d(j,s) est le même que celui dont la formule avait déjà été donnée (il y a presque un an !). Une procédure avait aussi été donnée qui menait également à son calcul. Cette procédure énumérait les distinctes façons d'écrire j en s termes <=j . Par exemple P(5,4)=P5(x1,x2,x3,x4) a un nombre de coefficients égal au nombre de façons distinctes d'écrire 5 en 4 termes:

5 = 4 + 1 + 0 + 0
5 = 3 + 2 + 0 + 0
5 = 3 + 1 + 1 + 0
5 = 2 + 2 + 1 + 0
5 = 2 + 1 + 1 + 1
5 = 5 + 0 + 0 + 0

Essayons de nous ramener brutalement au problème de départ en lisant chaque terme de chaque ligne comme une variable x :

x4x1
x3x2
x3x12
x22x1
x2x13
x5

On ne retrouve pas les monômes de P5(x1,x2,x3,x4) : il y a un x5 qui ne devrait pas être là et il manque x15.

En fait, on vient seulement d'illustrer que le cardinal de l'ensemble des monômes de degré j qui ont au plus s facteurs est égal au cardinal de l'ensemble des monômes de degré j qui utilisent au plus s variables.La correspondance entre ces deux ensembles est mise en évidence grâce aux diagrammes de Ferrers où on superpose, pour un monôme donné, n lignes de m points (*) correspondant au facteur xmn : on lit alors le correspondant du monôme en passant en revue les colonnes du diagramme

x4x1 * * * * donc on lit en colonne : 2,1,1,1 c'est-à-dire x2x13
*
x3x2 * * * x22x1
* *
x3x12 * * * x3x12
*
*
x22x1 * * x3x2
* *
*
x2x13 * * x4x1
*
*
*
x5 * * * * * x15

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