théorème algébrique de Lagrange

Publié le par jö

Après avoir utilisé la fonction qui permet d'énumérer les rationnels et d'y avoir observé le positionnement de certaines suites, je vais ici présenter quelques extensions dans les groupes finis après avoir défini quelques notations.

En arithmétique modulaire, on doit considérer deux propositions quand on compare 2 entiers :
    1) l'un est multiple de l'autre : on écrira, après vérification que 0<m≤n ou 0=m<n, m=0 (mod n) (mod pour modulo)
    2) ils sont premiers entre eux : on écrira gcd(m,n)=1 (gcd pour greatest common divisor)
Si l'un des entiers au moins vaut 1, alors 1) et 2) sont vraies simultanément. Sinon, une au plus parmi 1) et 2) est vraie.


On note traditionnellement ℤ/pℤ l'ensemble {0,1,2,...,p-1}, on choisit p>1 et on va construire à partir de ℤ/pℤ l'ensemble Gp constitué des éléments a de ℤ/pℤ vérifiant gcd(a,p)=1.

Pour a=0, on a a≠1 et comme p≠1 et que a=0 (mod p), gcd(a,p)≠1 donc 0 ne fait jamais partie de Gp.
Pour a=1, on a gcd(a,p)=1 donc 1 fait toujours partie de Gp.
On montre que Gp a φ(p) éléments avec φ(p)=p(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3) ... si les p_i sont les facteurs premiers distincts de la décomposition de p. Par exemple 12=22.3 donc G12 a 12(1-1/2)(1-1/3)=4 éléments : G12={1,5,7,11}.

On a dit que Gp était un ensemble mais avec ce procédé, on a en fait construit un groupe ce  qui est bien plus qu'un ensemble. En effet, à la notion d'ensemble s'ajoute maintenant la possibilité de considérer une opération de groupe (qui agit sur 2 éléments de Gp pour donner un élément de Gp) et sa réciproque : la multiplication et la division. (on pourrait aussi considérer que ℤ/pℤ est un groupe pour l'addition mais pour les besoins évoqués en introduction, ce n'est pas suffisant).

Voici par exemple la table de multiplication (commutative) dans G12 :


  15711
1 1 5 7 11
5 5 1 11 7
7 7 11 1 5
11 11 7 5 1

où, par exemple, 5x7 = 35 = 24 + 11 = 11 car 24 = 0 (mod 12).

Comme on peut multiplier les éléments de Gp entre eux, on peut considérer qu'on le fait autant de fois que l'on veut : on définit ainsi les puissances nième des éléments de Gp avec n : entier queconque (et plus seulement élément de Gp).

Dans G15={1,2,4,7,8,11,13,14}, les premières puissances successives des φ(15)=8 éléments donnent

  01234567
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 2 4 8 1 2 4 8
4 1 4 1 4 1 4 1 4
7 1 7 4 13 1 7 4 13
8 1 8 4 2 1 8 4 2
11 1 11 1 11 1 11 1 11
13 1 13 4 7 1 13 4 7
14 1 14 1 14 1 14 1 14

Pour tout élément b de Gp, on définit le sous-groupe <{b}>={1,b,b2,...,bk-1} d'ordre k tel que 0<k≤φ(p) et bk=1 (par exemple <{7}>={1,7,4,13}).

On a donc b bk-1 = 1 donc l'inverse de b est bk-1.
(utile pour démontrer le petit théorème de Fermat dans le cas où p est premier et donc où  k=φ(p)=p-1 )

On énonce finalement le théorème algébrique de Lagrange : φ(p) = 0 (mod k).

Passons maintenant à notre application : ici la notion de groupe n'est pas adaptée car on va devoir aussi faire des additions (comment exprimer 2+1 dans G15 ?) donc on va pluôt généraliser l'approche en considérant les corps finis (ou de Galois) qui imposent que p soit la puissance d'un entier premier (la puissance 1 si on les construit à partir de ℤ/pℤ) tout en autorisant l'usage des quatres opérations.


Dans C13 par exemple, le processus x_{n+1} = 1 / (1 + 2 E(x_n) - x_n) à partir de 1 engendre la suite :

1, 7, 2, 9, 8, 5, 3, 10, 10, 11, 9, 3, 6, 4, 4, 8, 11, 8, 11, 2, ...

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